Cela reste vrai dans d`autres espaces métriques complets. Si X est un espace Hausdorff, alors les limites des séquences sont uniques là où elles existent. À la fin du siècle, Lagrange dans sa théorie des fonctions analytiques (1797) a estimé que le manque de rigueur empêchait le développement ultérieur dans le calcul. Nous devrions déjà savoir que cette limite est zéro, qui est $ lim_{x To 0} x = $0. En fait, toute fonction réelle f est continue si et seulement si elle préserve les limites des séquences (bien que ce ne soit pas nécessairement vrai lorsque l`on utilise des notions plus générales de continuité). Cela coïncide avec la définition donnée pour les espaces métriques si (X, d) est un espace métrique et τ {displaystyle tau} est la topologie générée par d. Leucippus, Democritus, Antiphon, Eudoxus et Archimedes ont développé la méthode d`épuisement, qui utilise une infinité séquence d`approximations pour déterminer une zone ou un volume. Dans ce dernier travail, Newton considère l`expansion binomiale de (x + o) n qu`il linéarise ensuite en prenant des limites (en laissant o → 0). Les limites peuvent être définies dans n`importe quel espace métrique ou topologique, mais sont généralement rencontrées dans les nombres réels.

On dit que la limite d`une séquence est la notion fondamentale sur laquelle repose en fin de compte l`ensemble de l`analyse. Ces propriétés sont largement utilisées pour prouver les limites sans avoir besoin d`utiliser directement la lourde définition formelle. Si a n → a {displaystyle a_ {n} To a} et b n → b {displaystyle _ _ {n} To b}, puis a n + b n → a + b {displaystyle a_ {n} + _ {n} To a + b}, a n ⋅ b n → a b {displaystyle a_ {n} cdot bPoint {n} To AB} et , si ni b ni aucun b n {displaystyle b _ {n}} est nul, a n b n → a c {displaystyle {frac {a_ {n}} {_ {n}}} To {frac {a} {b}}}. Est-ce que SCL uniquement pour les fonctions qui ont un point unique dans sa plage? Plus précisément, une vraie séquence (x n) {displaystyle (x_ {n})} tend à L si pour chaque H hypernaturelle infinie, le terme xH est infiniment proche de L, i. Pour chaque ε > 0 {displaystyle varepsilon > 0} il n`y a que de nombreux membres de séquence en dehors du tube Epsilon. Certaines autres propriétés importantes des limites des séquences réelles sont les suivantes (à condition, dans chaque équation ci-dessous, que les limites de la droite existent).

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Doutor em Filosofia e Mestre em Ciências Políticas pela Universidade Federal do Rio Grande do Sul (UFRGS), com Pós-Doutorado pela Columbia University, em NY. É Professor em tempo integral no INSPER, em São Paulo, e Curador do Projeto Fronteiras do Pensamento. fschuler@uol.com.br